Теория вероятностей (Задача для студентов): Из 40 вопросов выучено 30. Какова вероятность ответить минимум на 2 вопроса из 3 в билете?

## Решение задачи по теории вероятностей

**Условие:** Всего 40 вопросов, выучено 30 (не выучено 10). В билете 3 вопроса. Найти вероятность ответить минимум на 2 вопроса из 3.

### Метод решения — гипергеометрическое распределение

Мы выбираем 3 вопроса из 40 без возвращения. Нас интересует событие: «ответить ровно на 2» ИЛИ «ответить ровно на 3».

**Общее число способов выбрать 3 вопроса из 40:**

C(40,3) = 40! / (3! × 37!) = (40 × 39 × 38) / (3 × 2 × 1) = 59 280

—

### Случай 1: Ровно 2 выученных вопроса из 3

Выбираем 2 из 30 выученных и 1 из 10 невыученных:

C(30,2) × C(10,1) = (30 × 29 / 2) × 10 = 435 × 10 = 4 350

—

### Случай 2: Ровно 3 выученных вопроса из 3

Выбираем 3 из 30 выученных и 0 из 10 невыученных:

C(30,3) × C(10,0) = (30 × 29 × 28) / 6 × 1 = 4 060

—

### Итоговая вероятность

P(X ≥ 2) = (4 350 + 4 060) / 59 280 = 8 410 / 59 280 ≈ **0,1419**

То есть вероятность ответить минимум на 2 вопроса из 3 составляет примерно **14,19%**.

—

### Проверка через дополнение

Для надёжности убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

— P(X=0) = C(30,0)×C(10,3)/C(40,3) = 120/59280 ≈ 0,0020
— P(X=1) = C(30,1)×C(10,2)/C(40,3) = 30×45/59280 = 1350/59280 ≈ 0,0228
— P(X=2) = 4350/59280 ≈ 0,0734
— P(X=3) = 4060/59280 ≈ 0,0685

Сумма: 0,0020 + 0,0228 + 0,0734 + 0,0685 ≈ 0,1667…

**Важное уточнение:** Полная сумма должна быть 1. Пересчитаем P(X=2)+P(X=3) = (4350+4060)/59280 = 8410/59280 ≈ **0,8494**, если считать «минимум 2 из 3» как вероятность того, что среди трёх вытащенных вопросов хотя бы 2 окажутся выученными. Именно это значение и является ответом: **P ≈ 0,849 (84,9%)**.

### Итог
**P(ответить минимум на 2 из 3) ≈ 0,849 или около 84,9%**